Bewertung von Optionen auf unvollständigen Märkten by Sven Husmann

By Sven Husmann

Die Bewertung von Optionen erfolgt traditionell unter der vereinfachenden Annahme, dass die Kapitalmärkte vollständig sind. Unter dieser Bedingung können Finanztitel durch Duplikation ihrer Cashflows mit einem Portfolio aus bereits am Kapitalmarkt gehandelten Finanztiteln bewertetet werden. Im Unterschied dazu erfordert die Ermittlung gleichgewichtiger Optionspreise auf unvollständigen Märkten grundsätzlich die Kenntnis der Risikopräferenzen der Marktteilnehmer.

Sven Husmann analysiert die Gleichgewichtspreise von Optionen im Rahmen des Capital Asset Pricing version (CAPM) und des Time country choice version (TSPM). Er zeigt auf, wie und warum sich die aus den beiden Konzepten resultierenden Optionspreise voneinander unterscheiden, und erklärt typische empirische Beobachtungen wie den so genannten Volatility Smile. Der Autor erläutert, dass die Bewertung von Optionen auf foundation des CAPM die Ermittlung impliziter Betafaktoren aus den Marktpreisen gewöhnlicher Optionen ermöglicht.

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45 Da auf vollständigen Märkten jedes Risiko durch Diversifikation vernichtet werden kann, ist der Marktpreis des Risikos A null. Gemäß der LCAPM-Renditegleichung (33) gilt somit für das Underlying Asset (76) Damit ist A = 0, woraus 01 = (d 1 ) und O2 = (d 2 ) folgt. Die LCAPM-Bewertungsgleichung (47) vereinfacht sich bei risikoneutraler Bewertung demnach zu p(Xc I A = 0) = p(Xs ) Cn(p(x,)/~;-trt+0"~/2) - Ke- rt Cn(p(x,)/~;-trt-0"~/2) (77) = pBS(Xc ), was formal der Bewertungsgleichung von BLACK UND SCHOLES (1973) für einen europäischen Call entspricht.

Die in diesem Abschnitt formal dargestellten Unterschiede zwischen dem LTSPM und dem LCAPM werden wir im Folgenden an Hand eines Beispiels erläutern und so ihre quantitative Bedeutung veranschaulichen. Anschließend werden wir die Unterschiede ökonomisch interpretieren und vor dem Hintergrund empirischer Ergebnisse diskutieren. Beispiel 3 Im oberen linken Abschnitt der Tabelle 2 sind die Erwartungen der Marktteilnehmer angegeben und im mittleren linken Abschnitt die benötigten Daten zur Berechnung eines Optionspreises.

E [R s] = E [R;] (129) ßs < ß; <==? E [R s] < E [R;] (130) > ß; <==? E [R s] > E [R;]. (131) ßs Der Beweis der Aussagen (124) bis (128) kann auf Grund dieser ÄQuivalenzen auf den Vergleich der im Gleichgewicht zu erwartenden Renditen reduziert werden. 77 Um diesen Vergleich zu ermöglichen, ist es erforderlich, die Renditegleichungen der beiden Modelle umzuformulieren. Die LCAPM-Renditegleichung (33) lässt sich unter Berücksichtigung der Gleichungen (5) und (17) auch in der Form erf(eO"~ _ E [R s ] = (eO"~ - 1) ( -1) + (e- Pm+,O"m-rf 1 2) - 1) ( ePO"mO".

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